Линейная алгебра: матрицы и отображения

Линейная алгебра — это один из важнейших разделов математики. Методы линейной алгебры широко применяются не только для решения задач геометрии, математического анализа, теории динамических систем, механики сплошных сред, теории представлений, но и в машинном обучении, анализе данных, криптографии. Наш курс «Линейная алгебра: матрицы и отображения» предназначен для студентов физико-математических, технических и естественнонаучных специальностей, при этом он может быть полезен всем, кто изучает экономику, социологию и IT. Этот онлайн-курс дополняет стандартные дисциплины линейной алгебры и аналитической геометрии в вузах. Его цель — расширить ваши знания о векторных пространствах, линейных отображениях, матрицах и квадратичных формах. За время обучения вы, в частности, научитесь находить жорданову форму матрицы линейного оператора и применять её для решения прикладных задач кибернетики и математической физики.
Мы предполагаем, что вы уже владеете базовыми понятиями линейной алгебры и знакомы с основными операциями над матрицами: умеете складывать и умножать матрицы, вычислять определитель квадратной матрицы и находить обратную матрицу.
Во время обучения вы также будете решать практические задачи, в которых используются методы линейной алгебры, и учиться объяснять, почему предложенные алгоритмы на самом деле работают.
Добро пожаловать!

Материалы курса разработаны группой исследователей Математического центра в Академгородке (соглашение с Министерством науки и высшего образования РФ номер 075-15-2019-1675)

Узнать об образовательных программах Новосибирского государственного университета: https://education.nsu.ru/bachelor/

• Векторные пространства
• В первом модуле вы познакомитесь с векторными пространствами — одним из наиболее важных объектов в нашем курсе. Отталкиваясь от знакомого всем трёхмерного пространства, вы перейдёте к пространствам большей размерности и научитесь представлять четырёхмерное (и даже n-мерное) векторное пространство. Рассмотрев базисы векторных пространств, вы сможете однозначно сопоставлять каждой точке n-мерного пространства упорядоченный набор из n чисел, который называется координатами точки. Используя координаты в выбранном базисе, вы научитесь решать стандартные геометрические задачи (например, находить длину отрезков или угол между прямыми) в пространстве любой размерности.
• Линейные отображения
• Второй модуль нашего курса посвящён линейным отображениям между векторными пространствами. Вы поймёте, что в некотором смысле линейные отображения и матрицы — это одно и то же, а также научитесь строить по каждому линейному отображению соответствующую ему матрицу и с её помощью находить ядро и образ отображения. Помимо этого, вы изучите два важных класса линейных преобразований: ортогональные преобразования, которые описывают повороты пространства, и симметрические преобразования, которые, как мы увидим далее, описывают растяжения пространства.
• Системы линейных уравнений и их приложения
• Основная цель третьей недели — изучение теории и практики решения систем линейных алгебраических уравнений. Эта техника лежит в основе решения большинства задач линейной алгебры и геометрии. Вы изучите метод Гаусса, который позволяет определять совместность и находить общее решение для системы из любого числа линейных уравнений с любым числом неизвестных. Вы научитесь определять размерность и находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений, а также применять изученную технику для исследования линейных операторов. В этом же разделе вы познакомитесь с понятиями собственного значения и собственного вектора — они являются важнейшими для линейной алгебры в целом. Вы научитесь находить полный спектр собственных значений линейного оператора и узнаете, как геометрические свойства оператора связаны с его спектром, познакомимся с понятием полупростого оператора и поймёте, почему этот класс операторов играет особенно важную роль в практике применения линейной алгебры в прикладных задачах.
  
• Жорданова форма
• Этот раздел целиком посвящён одному из наиболее красивых достижений математики — жордановой классификации линейных операторов на комплексном конечномерном пространстве. Основная область применения такой классификации — решение теоретических задач, связанных с описанием различных классов линейных операторов. Жорданова форма может быть использована для поиска точных решений в ряде практических задач. Например, вы узнаете, как вывести общую формулу для членов знаменитой последовательности чисел Фибоначчи и что нужно делать для анализа произвольной линейной рекуррентной последовательности любого порядка, как находить точное решение произвольной системы линейных дифференциальных уравнений.
• Симметрические и ортогональные линейные операторы
• В заключительном модуле нашего курса вы изучите строение и канонический вид матриц линейных операторов относительно ортонормированного базиса евклидова пространства. Вы познакомитесь с разложением Шура — полезным инструментом для решения вычислительных задач. Вы рассмотрите два важных класса линейных операторов, действие которых согласовано со скалярным произведением на евклидовом пространстве, — симметрические и ортогональные операторы. Вы изучите канонический вид, к которому приводятся симметрические и ортогональные матриц, поймёте, как устроены преобразования движения. Вы научитесь раскладывать любой линейный оператор в композицию движения и растяжения, а также находить сингулярное разложение для матриц. Также вы узнаете, как решать задачи приведения квадратичных форм к каноническому виду и их приложения к задачам исследования функций многих переменных и задачам оптимизации.