Дифференциальные уравнения для инженеров

Этот курс полностью посвящен дифференциальным уравнениям. Преподаются как базовая теория, так и прикладные случаи. В первые пять недель мы познакомимся с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в последнюю неделю - с дифференциальными уравнениями в частных производных.

Курс содержит 56 коротких видеозаписей лекций, с несколькими задачами, которые нужно решить после каждой лекции. И после каждой существенной темы проводится короткий практический тест. Решения проблем и практические тесты можно найти в конспектах лекций, предоставленных преподавателем. Курс рассчитан в общей сложности на шесть недель, и в конце каждой недели проводится оценочный тест.

Скачать конспекты лекций:
http://www.math.ust.hk/~machas/differential-equations-for-engineers.pdf

Смотрите рекламный ролик:
https://youtu.be/eSty7oo09ZI

• Дифференциальные уравнения первого порядка
• Дифференциальное уравнение - это уравнение для функции с одной или несколькими ее производными. Мы вводим дифференциальные уравнения и классифицируем их. Затем мы узнаем о методе Эйлера для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (ОДУ). Затем мы изучаем аналитические методы решения разделимых и линейных ОДУ первого порядка. Объяснение теории сопровождается иллюстративными решениями некоторых простых ОДУ. Наконец, мы узнаем о трех реальных примерах ОДУ первого порядка: сложный процент, конечная скорость падающей массы и электрическая цепь резистор - конденсатор.
• Однородные линейные дифференциальные уравнения
• Мы обобщаем численный метод Эйлера на ОДУ второго порядка. Затем мы разрабатываем две теоретические концепции, используемые для линейных уравнений: принцип суперпозиции и определитель Вронского. Вооружившись этими понятиями, мы можем найти аналитические решения однородного ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы используем экспоненциальный подход и преобразуем ОДУ с постоянным коэффициентом в квадратное уравнение, называемое характеристическим уравнением ОДУ. Характеристическое уравнение может иметь действительные или комплексные корни, и мы изучаем методы решения для разных случаев.
• Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
• Теперь мы добавим неоднородный член к ОДУ с постоянным коэффициентом. Неоднородный член может быть экспонентой, синусом или косинусом или многочленом. Мы также изучаем явления резонанса, когда частота воздействия равна собственной частоте генератора. Наконец, мы узнаем о трех важных приложениях: электрической цепи RLC, массе на пружине и маятнике.
• Преобразование Лапласа и методы последовательного решения
• Мы представляем два новых аналитических метода решения линейных ОДУ. Первый - это метод преобразования Лапласа, который используется для решения ОДУ с постоянным коэффициентом с прерывистым или импульсным неоднородным членом. Преобразование Лапласа в целом является хорошим средством для внедрения сложных методов интегрального преобразования в легко понятном контексте. Мы также обсуждаем последовательное решение линейного ОДУ. Хотя мы здесь не углубляемся, введение в эту технику может быть полезно студентам, которые снова столкнутся с ней на более продвинутых курсах.
• Системы дифференциальных уравнений
• Мы узнаем, как решать связанную систему однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Эта система ОДУ может быть записана в матричном виде, и мы узнаем, как преобразовать эти уравнения в стандартную задачу матричной алгебры собственных значений. Двумерные решения визуализируются с помощью фазовых портретов. Затем мы узнаем о важном применении связанных гармонических осцилляторов и расчете нормальных колебаний. Нормальные колебания - это те движения, при которых отдельные массы, составляющие систему, колеблются с одинаковой частотой.
• Дифференциальные уравнения с частными производными
• Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение с частными производными (УМФ), мы сначала определяем ряд Фурье. Затем мы выводим одномерное уравнение диффузии, которое представляет собой УМФ для диффузии красителя в трубе. Мы приступаем к решению этого УМФ, используя метод разделения переменных.