Введение в гладкие многообразия

Целью нашего online-курса является дистанционное обучение слушателей основным понятиям и методам анализа на многообразиях их применению.
После прохождения курса НИУ ВШЭ слушатель сможет освоить, что такое гладкое многообразие, касательное пространство, векторное поле, дифференциальная форма на многообразии и когомологии де Рама. Уметь вычислять интегралы от дифференциальных форм по многообразию. Дифференцировать и применять другие операции над дифференциальными формами. Понимать, что такое поток векторного поля и находить его траектории. А также освоить понятия когомологий де Рама.
Предварительными требованиями к слушателю являются освоение курсов: математического анализа (в том числе нескольких переменных), линейной алгебры и основных фактов курса обыкновенных дифференциальных уравнений.

• Гладкие многообразия
• В этом модуле мы начнем с исторической справки предмета. Узнаем, как развивалась наука гладких многообразий, какие основные теоремы были предложены, имена каких ученых следует иметь в виду. Также мы начнем свое знакомство с многообразиями: рассмотрим их примеры, поговорим о ключевых определениях и терминах.
• Кривые и поверхности в R^n
• В этом модуле мы введем понятие параметрической кривой и кривой. Вспомним важные теоремы анализа: теоремы о неявной и обратной функции. Также будет обсуждаться понятие поверхности. Обсудим, являются ли регулярные поверхности гладкими многообразиями.
• Ориентируемые многообразия
• В этом модуле мы изучим понятие ориентации на многообразии. Введем понятия многообразия с краем и разберемся, как ориентация на многообразии соотносится с ориентацией на крае.
• Касательное пространство
• В этом модуле мы займемся изучением касательных и показательных пространств. Рассмотрим совершенно разные подходы к определению этих понятий. Изучим, что такое дифференциал отображения. В последней части модуля рассмотрим такой сложный объект, как расслоение.
• Разбиение единицы и вложение многообразий в R^n
• В этом модуле мы изучим понятие гладкого разбиения единицы: что это за объект и где его можно применять. Изучим такие важные понятия, как вложение и погружение многообразий. Крайне интересным случаем является вложение компактного многообразия в евклидово пространство, который объясняется теоремой Уитни.
• Векторные поля и потоки
• В этом модуле мы изучим понятия векторного поля на многообразии. Изучим, каким образом можно вычислять траектории потока векторного поля. Разберемся с коммутатором векторных полей, его связью с производной Ли. В конце этого модуля даже затронем группы Ли.
• Тензоры и внешние формы
• В этом разделе мы столкнемся с понятием тенора типа (k, l). Разберемся, что такое внешняя форма. Введем важнейшее понятие понятие дифференциальной формы. В конце этого модуля предлагается дополнительный материал о векторных расслоениях, а также сложные теоретические описание теноров и форм с помощью расслоений.
• Тензоры и дифференциальные формы
• В этом модуле подробно изучается понятие дифференциальной формы. Мы научимся осуществлять основные операции с дифференциальными формами: умножать и складывать, а также вычислять от них внешний дифференциал.
• Интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса
• В этом модуле мы научимся интегрировать дифференциальные формы по многообразию. Затем мы приблизимся к ключевому моменту всего нашего курса: формуле Стокса. Это невероятно сильный результат, обобщающий формулы векторного анализа.
• Когомологии де Рама
• В этом модуле, сперва, мы разберемся, что такое точная форма и что такое замкнутая форма. Мы изучим понятие клеточного комплекса и введем понятие когомологий де Рама. Изучим лемму Пуанкаре и рассмотрим пример решения системы в частных производных.