Векторное исчисление для инженеров

Этот курс охватывает как базовую теорию, так и приложения векторного исчисления. На первой неделе мы узнаем о скалярных и векторных полях, на второй неделе о дифференцирующих полях, на третьей неделе о многомерном интегрировании и криволинейных системах координат. Четвертая неделя посвящена линейным и поверхностным интегралам, а пятая неделя охватывает фундаментальные теоремы векторного исчисления, включая теорему о градиенте, теорему о дивергенции и теорему Стокса. Эти теоремы необходимы в основных инженерных дисциплинах, таких как электромагнетизм и механика жидкости.

Вместо векторного исчисления некоторые университеты могли бы назвать этот курс многомерным или многомерным исчислением или исчислением 3. Обязательным условием являются два семестра исчисления с одной переменной (дифференцирование и интеграция).

Курс содержит 53 коротких видеофильма с лекциями, после каждой из которых необходимо решить несколько задач. И после каждой существенной темы проводится короткий практический тест. Решение задач и практические тесты можно найти в конспектах лекций, предоставленных преподавателем. Курс рассчитан в общей сложности на пять недель, и в конце каждой недели проводится тест с оценкой.

Загрузите конспекты лекций:
http://www.math.ust.hk/~machas/vector-calculus-for-engineers.pdf

Смотрите рекламный ролик:
https://youtu.be/qUseabHb6Vk

• Векторы
• Вектор – это математическая конструкция, которая имеет как длину, так и направление. Мы определим векторы и узнаем, как их складывать и вычитать, а также как их умножать, используя скалярные и векторные произведения (точечные и перекрестные произведения). Мы будем использовать векторы для изучения некоторой аналитической геометрии линий и плоскостей, а также узнаем о дельте Кронекера и символе Леви-Чивиты для доказательства векторных тождеств. Будут введены важные понятия скалярных и векторных полей.
• Дифференциация
• Скалярные и векторные поля могут быть дифференцированы. Мы определяем частную производную и выводим метод наименьших квадратов как задачу минимизации. Мы узнаем, как использовать цепное правило для функции нескольких переменных, и выведем правило тройного произведения, используемое в химическом машиностроении. Мы определяем градиент, дивергенцию, ротор и лапласиан. Мы узнаем некоторые полезные тождества векторного исчисления и как их вывести, используя дельту Кронекера и символ Леви-Чивиты. Векторные тождества затем используются для вывода уравнения электромагнитной волны из уравнения Максвелла в свободном пространстве. Электромагнитные волны составляют основу всех современных коммуникационных технологий.
• Интегрирование и криволинейные координаты
• Интеграция может быть расширена до функций нескольких переменных. Мы учимся выполнять двойные и тройные интегралы. Криволинейные координаты, а именно полярные координаты в двух измерениях и цилиндрические и сферические координаты в трех измерениях, используются для упрощения задач с круговой, цилиндрической или сферической симметрией. Мы узнаем, как писать дифференциальные операторы в криволинейных координатах и как изменять переменные в многомерных интегралах, используя якобиан преобразования.
• Линейные и поверхностные интегралы
• Скалярные или векторные поля могут быть интегрированы на кривых или поверхностях. Мы узнаем, как взять линейный интеграл скалярного поля и использовать линейные интегралы для вычисления длин дуг. Затем мы узнаем, как брать линейные интегралы векторных полей, беря точечное произведение векторного поля с касательными единичными векторами к кривой. Рассмотрение линейного интеграла силового поля приводит к теореме о работе-энергии. Далее мы узнаем, как взять поверхностный интеграл скалярного поля и вычислить площади поверхности. Затем мы узнаем, как взять поверхностный интеграл векторного поля, взяв точечное произведение векторного поля с нормальным единичным вектором к поверхности. Поверхностный интеграл поля скоростей используется для определения массового потока жидкости через поверхность.
• Фундаментальные теоремы
• "Фундаментальная теорема исчисления связывает интегрирование с дифференцированием. Здесь мы изучаем связанные с этим фундаментальные теоремы векторного исчисления. К ним относятся теорема о градиенте, теорема о
  дивергенции и теорема Стокса. Мы покажем, как эти теоремы используются для вывода уравнений непрерывности, вывода закона сохранения энергии, определения дивергенции и ротора в безкоординатной форме и преобразования интегральной версии уравнений Максвелла в их более эстетичную дифференциальную форму."