Теория вероятностей и ее приложения

Онлайн-курс «Теория вероятностей и ее приложения» входит в специализацию «Математика для анализа данных» от НИУ ВШЭ и не требует предварительных знаний, кроме материала, пройденного ранее в рамках этой специализации.

Программа дистанционного курса рассчитана на желающих заниматься компьютерными науками и насыщена примерами применения теоретического материала на практике. На лекциях будут даны базовые математические инструменты анализа реальных жизненных ситуаций и процессов, которые можно закрепить, выполнив практические задания.

В рамках курса будут изучены:
– понятия дискретного и непрерывного вероятностного пространства;
– независимость, условная вероятность и связанные с ними формулы (в том числе формула полной вероятности, формула Байеса и т. д.);
– случайная величина и её свойства;
– плотность случайной величины, одномерная и многомерная функция распределения;
– условное распределение случайных величин и способы анализа совместного распределения;
– математическое ожидание, причем особое внимание будет уделено условному математическому ожиданию;
– базовые способы анализа больших отклонений;
– дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции и их геометрическая интерпретация;
– закон больших чисел и центральная предельная теорема.

Приоритетом при составлении курса являлось формирование глубокого понимания используемых в анализе данных вероятностных инструментов. Поэтому все понятия будут подробно рассмотрены с разных сторон, обоснованы и тщательно разобраны в решаемых задачах. Большое количество примеров в курсе тоже служит для этой цели — не просто узнать, а научиться использовать изученную технику.

• Классическая и дискретная вероятность
• Изучение теории вероятностей мы начнем с естественного вопроса: как мы понимаем, что такое вероятность? На первой неделе мы будем понимать вероятность как частоту, с которой наступает то или иное событие. Далее это понимание будет развиваться и трансформироваться. Рекомендую проследить, как будет меняться Ваше представление о вероятности на протяжении курса. Для формирования понимания основных принципов вероятности и быстрого старта нам пригодится мощный инструмент — понятие дерева событий. Сначала мы будем использовать его без строгого обоснования, но понимая принцип действия. На второй неделе мы обоснуем дерево событий, используя более развитую технику. Без промедления мы введем самое часто используемое понятие теории вероятностей — случайную величину. Это понятие мы сразу используем для работы со стандартной моделью — схемой Бернулли. Завершает неделю распределение Пуассона, которое самым тесным образом связано со схемой Бернулли. Распределение Пуассона используется для описания потока запросов систем массового обслуживания. Так что уже в конце первой недели у Вас будет богатый набор примеров применения вероятностных моделей на практике.
• Условная вероятность и независимость
• Представим, что мы рассматриваем одновременно несколько событий. Тогда информация о том, что одно из событий произошло, может изменить вероятность другого. Новая вероятность второго события, при условии, что первое произошло, так и называется — условная вероятность. Именно с этим понятием будет связан материал второй недели. Мы будем изучать, как события взаимосвязаны. Чтобы использовать информацию о взаимосвязи событий используют теоремы умножения и формулу полной вероятности, которые будут сформулированы в середине недели. Обратить информацию о взаимосвязи позволяет формула Байеса. Как говорят, она позволяет «переставить причину и следствие». Обычно эту связь не так легко уловить. Поэтому формула Байеса, как инструмент обращения связи, имеет огромную популярность. Но самой удобной для анализа оказывается ситуация, когда между событиями нет вероятностной связи. Такие события называются независимы. Независимость не всегда легко доказать на практике. Но если события действительно оказались независимыми, то это дает возможность получить невероятно интересные результаты.
• Непрерывная случайная величина
• До этого момента мы еще не рассматривали вероятностные пространства, в которых каждый отдельный исход имеет нулевую вероятность. Но такие пространства бывают. Представим, что мы стреляем по мишени. Тогда вероятность попасть в каждую конкретную точку на мишени равна нулю. Содержательна здесь только вероятность попадания в некоторую область. Такое распределение вероятности называется непрерывным, и именно ему посвящена третья неделя курса. На этой неделе мы узнаем, как можно определить и применять непрерывные случайные величины. Теоретическим фундаментом нам будет служить аксиоматика А. Н. Колмогорова — великого математика и основателя современной теории вероятностей.
• Математическое ожидание
• Большинство объектов, которые необходимо проанализировать, описываются случайной величиной. На прошлой неделе мы существенно расширили пределы того, что можно описать инструментами теории вероятностей, добавив в рассмотрение непрерывные случайные величины. Но как оценить саму случайную величину? Одной из важнейших числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. В некоторых случаях математическое ожидание можно понимать как среднее значение. Как известно, среднее очень удобно для первичного анализа набора данных. Более того оказывается, что в некоторых ситуациях знание математического ожидания позволяет оценить значения случайно величины и сделать крайне полезные наблюдения. Подробнее о таких способах анализа Вы узнаете на этой неделе.
• Дисперсия и ковариация
• Знание математического ожидания позволяет сделать выводы о поведении случайной величины. В некоторых ситуациях эти выводы могут быть очень сильными (граница Чернова). Но как оценить отклонение от среднего? Это значение описывает дисперсия случайной величины. Знание дисперсии позволяет провести гораздо более точный анализ ситуации. Неравенство Чебышева позволяет с помощью дисперсии оценить вероятность отклонения случайной величины от среднего. Причем существенно более точно, чем неравенство Маркова, которое не использует дисперсию. Более того, конечность дисперсии означает, что для последовательности случайных величин будет выполнен закон больших чисел — фундаментальное утверждение, обосновывающее правомерность частотной интерпретации. Как это происходит, мы узнаем на этой неделе. Кроме того, мы узнаем, какие методы позволяют оценить зависимость между случайными величинами.