Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev ve Entegral II: İleri Konular ve Uygulamalar / Multivariable Calculus II: Applications and Advanced Topics

Türkçe
Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki iki derslik dizinin ikincisidir. Birinci ders türev ve entegral kavramlarını geliştirmekte ve bu konulardaki problemleri temel çözme yöntemlerini sunmaktadır. Bu ders, birinci derste geliştirilen temeller üzerine daha ileri konuları işlemekte ve daha kapsamlı uygulamalar ve çözümlü örnekler sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır. 

Konuların sunumunda “ne?” ve “nasıl?” sorularının yanısı sıra, “neden?” ve “nerede?” sorularına da yanıt aranacaktır. İlk iki soru “tanım” ve “kanıt”ları oluşturuyor. Diğer iki soru da, konuların nereden geldiğini ve nerede kullanılacağına yanıt veriyor.

Matematikte konuları bir düzen içinde hazır cevaplar vererek geliştirmek (Aristo yöntemi) önemlidir. Bunun yanı sıra sorular sorup, öğrenciyle birlikte yanıtlamak da öğrenim için etkin bir yöntem (Sokrat yöntemi). Buradaki sunumda uygun durumlarda Sokrat yönteminden yararlanmaya özen gösterilmektedir. 

Niçin türev ve entegral? Yaşamın iki önemli göstergesi değişim ve birikimdir. Değişim farklarla ve birikim de toplamalarla tanımlanır. Özünde, diferansiyel hesap, ilkokuldan beri öğrenip uyguladığımız çıkarma ve toplama işlemlerinin bir uzantısıdır. Diferansiyel hesaptaki yeni kavram anlık değişim ve değişken girdilerden oluşan birikimin belirlenebilmesidir. Bu iki kavram sonsuz küçük değerleri gerektirir. İstenen anlık değişiklik ve birikim sonsuz küçüklerin sıfır olduğu limitte ulaşılan değerlerdir. Limit diferansiyel hesabın dayandığı temel kavramdır.

Bir fonksiyon, bir girdi (bağımsız değişken) ile çıktı (bağımlı değişken) arasındaki ilişkidir. Bağımlı değişkendeki değişimin, bağımsız değişkendeki değişime oranı “türev” kavramını getirir. Birikim de, örneğin kütleyi, elektrik yükünü, enerjiyi, uzunluğu, alanı, hacmi veren fonksiyonların bağımsız değişkendeki sonsuz küçük değerlerle ağırlıklı toplamıdır. Bu işlem “entegral” kavramıdır. İlkokuldan beri toplama ve çıkarmanın birbirinin tersi ve tamamlayıcısı olduğunu biliyor ve kullanıyoruz. Bu ilişki türev ve entegralde de geçerlidir. Diferansiyel hesabın iki “temel teoremi” bu ilişkiyi kanıtlar: Bir fonksiyonun türevinin entegrali, başlangıçtaki fonksiyonu verir. Benzer olarak, bir fonksiyonun entegralinin türevi de başlangıçtaki fonksiyonu verir. Bu temel sonuçlar “Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı” dersinden biliniyor. Bu ders aynı konuları temel alarak, kavram ve hesaplama yöntemlerini çok değişkenli fonksiyonlara geliştiriyor. 

Niçin çok değişkenli fonksiyonlar? Çünkü yaşamın gerçek konuları bir, iki veya üç konum ve bir de zaman değişkeniyle belirleniyor. Ders tek değişkenli fonksiyonlarda öğrendiklerimizin üzerine yapılanıyor. Her yeni konuya başlarken, tek değişkenli fonksiyonlardaki eşdeğer durum hatırlatılacaktır. Bu nedenle önceki dersin konularını hatırlatma, öğrenciye eksik bildiklerini tamamlama ve bildiklerini pekiştirme olanağını da veriyor. Dersin sonunda öğrenciler çok boyutta düşünebilme becerisini geliştirecek, çevreyi ve insan yapısı olan teknolojiyi gerçekçi anlamda kavrayabilecektir. 

(Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”. Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1 “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” ve Cilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir.

English
The course is the second of the two course sequence of calculus of multivariable functions. The first course develops the concepts of derivatives and integrals of functions of several variables, and the basic tools for doing the relevant calculations. This course builds on the foundations of the first course and introduces more advanced topics along with more advanced applications and solved problems. The course is designed with a “content-based” approach, i. e. by solving examples, as many as possible from real life situations.

The “why” and “where“ of the topics are discussed, as much as the “what” and the “how”. The answers to the latter are the “definitions” and “proofs”, while the answers to the first two tell the reason for studying a topic, and the areas where such ideas are used.

The transfer of knowledge through an organized deductive process plays an important role in mathematics (Aristotelian approach). An interactive communication between the teacher and the student through posing questions and answering them leads to an effective method (Socratian method). The design of this course will benefit from the latter whenever feasible.

Why do we study derivatives and integrals? Because derivatives express change, and integrals define the cumulative results of many inputs. Change and growth through time or space are two basic aspects of life. Change is expressed with the difference between two situations, and the cumulative result of many inputs is an additive process. Thus basically, calculus is an extension of what we all learn as early as first grade as addition and subtraction. Calculus enables us to define and calculate instantaneous changes and growth by continuously varying inputs. Instantaneity of the changes and variability of the inputs are handled by infinitesimal quantities. The final results are obtained in the limit where the infinitesimal changes become zero. The limit is the central concept of calculus.

A function defines the relationship between the inputs, which are the independent variables, and outputs which are the dependent variables. The ratio of the infinitesimal changes in the dependent variable to those of the independent variable leads to the concept of the “derivative”. Similarly, the cumulative outputs of entities such as matter, energy, area, surface, volume, etc. are calculated by the sum of the dependent variable weighted by the changes in the independent variable. This operation leads to the concept of “integral”. Just like in Grade One, where we observed that addition and subtraction are the inverses of each other, so are integral and derivative. This complementarity between the derivative and integral is expressed by the two “fundamental theorems of calculus”. All this is studied in the “Calculus of Single Variable Functions”.

Why multivariables? Because real life problems involve several variables. Our environment is defined by three space variables and phenomena evolve in terms of a fourth which is time. People- made phenomena require many more variables. The course offered here is built on the knowledge of calculus of single variable functions and extends the concepts and techniques to multivariable functions. The concepts and techniques are, in most cases, natural extensions and generalizations from those in single variable functions. Hence, each topic will start the review of the fundamental concepts and calculation techniques from the calculus of one variable functions. This review is an opportunity to supplement what a student missed in the earlier course on single variables, while advancing into relevant problems from real life that involve more than one variable.

(Source: Attila Aşkar, Calculus of Multivariable Functions, Volume 2 of the set of Vol1: Calculus of Single Variable Functions, Volume 3: Linear Algebra and Volume 4: Differential Equations. All available online starting on January 6, 2014)

Türkçe
(Her derste çok sayıda çözümlü problem ve öğrencilerin çözmesi için ödevler ile incelenen konulardaki temel kavramlar ile çözüm yöntemleri özeti verilecektir.)

Birinci hafta
İki değişkenli fonksiyonlardan hatırlatmalar: ikinci derece fonksiyonlar, kısmi türev ve iki katlı entegrallerdeki temel tanımlar ve geometrideki anlamları; iki değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegrallerdeki temel hesaplama yöntemleri, iki katlı entegral hesaplamasında sıranın öneminin örneklerle hatırlatılması; teğet düzlem ve diferansiyel; tam türev ve zincirleme türev. Yöne göre türev. Gradyan, Bu sonuçların üç ve “n” değişkenli fonksiyonlara genellenmesi.

İkinci hafta 
İki değişkenli fonksiyonlarda Koordinat dönüşümleri ve Jakobiyan. Diverjans, Rotasyonel ve Laplasyen. Dairesel koordinatlarda gradyan. Doğanın dört temel kısmi türevli denklemi: dalga, sızma, Laplace denklemleriyle Schrödinger denkleminin tanıtılması. İki değişkenli sonuçların üç değişkene ve mümkün olan durumlarda “n” değişkene genellenmesi. Karmaşık değerli fonksiyonların özel yapısıyla kısmi türevler ve tam türev.

Üçüncü hafta
En büyük ve en küçük değerler: yerel, mutlak ve kısıtlama altında. Kısıtlama altında en iyiyi arama (optimizasyon) ve Lagrange çarpanı yöntemi. Kısmi türevlerin uygulaması ile değişimler hesabına giriş.

Dördüncü hafta
Uzayda yüzeylerin açık, kapalı ve parametrik fonksiyonlarla gösterilmeleri ve eğrisel koordinatlar. sonsuz küçük yüzey alanları seçeneklerinin birleştirilmiş bir yaklaşımla elde edilmesi. Uzayda küre, koni, paraboloitler gibi temel yüzeylerin tanıtılması ve bunları içeren alanlarla hesaplar.

Beşinci hafta 
Uzayda kapalı yüzeylerle tanımlanan hacımlar; sonsuz küçük hacımların birleştirilmiş yaklaşımla elde edilmesi. Jakobiyan ve sonsuz küçük hacım. Kartezyen, silindir ve küresel koordinatlarla uzaydaki yüzey ve cisimlerde üç katlı entegral hesaplamaları. Uzayda küre, koni, paraboloitler gibi temel yüzeylerle tanımlanan hacımlardan örnekler ve bunları içeren hacım hesapları.

Altıncı hafta
Vektör alanlarının tanıtılması; vektör alanlarıyla türev ve entegral. Düzlem eğrilerinde entegraller. Entegralin yörüngeye bağlı ve yörüngeden bağımsız olması. Düzlem eğrilerinde birinci ve ikinci Green teoremleri. Düzlemdeki Green teoremlerinin vektörler, rotasyonel ve diverjansla gösterimi.

Yedinci hafta
Düzlemdeki Green teoremlerinden uzayda Stokes ve Green – Gauss teoremlerine geçiş. Uzayda Green – Gauss ve Stokes teoremleriyle yüzey ve hacım entegralleri. Diverjans, rotasyonel ve Laplasyen’in anlamı. Uzayda Green – Gauss ve Stokes teoremleriyle doğadan temel korunum denklemlerinin elde edilmesi. Kütle, elektrik yükü ve ısı enerjisinin korunmasında uygulamalar.

***

English
(Each week’s material contains a large number of solved problems and assigned homework problems with hints. Each week’s material concludes with a basic summary of the fundamental topics covered and methods of calculations presented.)

Week One
Review of functions in two variables: quadratic functions, basics of partial derivatives and double integrals. The geometric meaning and basic techniques of differentiation and integration in two variables. The order of differentiation and integration not changing the results. Importance of  order of integration for computational practices. Tangent plane and differential. Chain rule and total derivative. Directional derivative and gradient. Generalizations to three and “n” variables.

Week Two
Coordinate transformations and Jacobian. Gradient, divergence, curl and Laplacian. Gradient in polar coordinates. Acquaintance with the four basic equations of the physical sciences: wave, diffusion and Laplace equations; and Schrodinger equation. Generalizations to three and “n” variables whenever feasible. Structure and differentiability of complex functions as a special function in two variables with the use of partial derivatives.

Week Three
Review of minimum-maximum problems. Absolute minimum-maximum problems. Minimum-maximum problems with constraints, optimization using Lagrange multipliers. Extensions from two to three and “n” variables. Variational calculus as an application of partial derivatives.

Week Four
Sample surfaces in space. Unified view of the calculation of infinitesimal surface elements. Examples of calculations of surface areas using the open form, closed form and parametric representations along with curvilinear coordinates.

Week Five
Sample objects in space. Unified view of the calculation of infinitesimal volume elements. Examples of calculations of volumes using Cartesian, cylindrical and spherical coordinates. Coordinate transformations and the relation between Jacobians and infinitesimal volumes.

Week Six
Differentiation and integration of vector fields in two and three components as functions of two and three independent variables. Line integrals, path dependence and independence. Green’s theorems in the plane. The two planar Green’s theorems using vectors, curl and divergence.

Week Seven
Passage from the two planar Green’s theorems to Green - Gauss’ divergence theorem and Stokes theorem in space. Calculations of surface and volume integrals involving these theorems. The meaning of divergence, curl and Laplacian. Demonstration of the use of these theorems to derive the conservation laws for mass, electrical charge and heat conduction.