Интегральное исчисление

Под интегральным исчислением понимают раздел математического анализа, изучающий интегралы функций и их приложения. Изначально интегральное исчисление возникло из потребности создания общего метода нахождения площадей, объёмов и центров тяжести. Слово «интеграл» происходит от латинского integralis — целостный. Это название было предложено Иоганном Бернулли, чтобы отличить «сумму бесконечного числа слагаемых» от обычной суммы.

Интегрирование, в противоположность дифференцированию, можно рассматривать как искусство, что связано в первую очередь с малым количеством закономерностей, которым бы удовлетворяли все интегралы. При этом для существования интеграла, по основной теореме интегрального исчисления, необходима лишь непрерывность интегрируемой функции.

В данном курсе вы сможете приобщиться к этому искусству. В частности, рассмотрите основы математического анализа: первообразную, неопределенные и определенные интегралы, интегрирование рациональных и иррациональных выражений. В курсе разобраны методы интегрирования, примеры вычисления геометрических и физических характеристик, а также некоторые ограничения и особенности использования аппарата интегрального исчисления при решении инженерных задач.

Курс рассчитан на студентов всех инженерных специальностей, изучающих раздел высшей математики Интегральное исчисление. Данный курс является одним из курсов высшей математики, которые читаются студентам всех факультетов на кафедре Высшей математики «Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ».

Раздел 1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Замена переменной в неопределённом интеграле. Формула интегрирования по частям.

Раздел 2. Интегрирование рациональных выражений.

Раздел 3. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений.

Раздел 4. Интеграл Римана.

Раздел 5. Вычисление интеграла Римана.

Раздел 6. Приложения интеграла Римана.

Раздел 7. Несобственные интегралы на бесконечном промежутке. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости.

Раздел 8. Сходимость условная и абсолютная. Признаки сходимости.

Раздел 9. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Интеграл в смысле главного значения.

Раздел 10. Производные сложных функций, производные неявных функций, дифференциалы, производные высших порядков.

Раздел 11. Производные и дифференциалы неявных функций, производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Экстремум функций нескольких переменных.