Линейная алгебра: от идеи к формуле

Основная особенность нашего онлайн-курса — геометрический подход к изложению. В каждом сюжете сначала мы рассказываем идею определения, пусть иногда и нестрого, а уже затем вводим формальное определение. В частности, линейные операторы, собственные векторы и числа появляются до матриц и определителей. Матрицы мы излагаем как способ записи линейного оператора. В силу этой особенности курс может быть интересен и тем, кто уже освоил стандартный вводный курс линейной алгебры.

Основные темы курса: векторные пространства, линейные операторы и их свойства, квадратичные формы, матричные разложения, метод главных компонент. Иногда для решения численных задач мы используем Python. В курсе мы не рассматриваем оптимальные численные реализации методов.

Обучение на курсе НИУ ВШЭ длится 6 недель. Для его успешного освоения достаточно знать стандартную школьную программу по математике.

• Векторы и действия с ними
• В первой главе бесстрашный слушатель познакомится с векторами и узнает, что такое линейный оператор, научится обращать и транспонировать некоторые операторы. А в конце лекции на сцену выйдут собственные векторы и собственные числа!
• Матрица линейного оператора
• Во второй главе любознательный слушатель научится записывать любой линейный оператор с помощью таблички чисел, изобретёт способ умножения табличек чисел и систематизирует способ решения системы уравнений в алгоритм Гаусса.
• Определитель матрицы и обратная матрица
• В третьей главе вдумчивого слушателя ожидает определитель матрицы, считающий площади и объёмы. Слушателю предстоит нахождение обратной матрицы несколькими способами.
• Спектральное разложение
• В четвёртой главе страждующий знаний слушатель узнает, как находить собственные числа и собственные векторы по матрице. Вооружённый этим знанием, слушатель при везении сможет представить квадратную матрицу в виде произведения трёх более простых матриц. В конце главы слушатель сможет овладеть проецированием для построения прогнозов.
• Квадратичные формы
• Любопытный слушатель в предпоследней пятой главе увидит картинки квадратичных форм, а также научится определять множество значений квадратичной формы, которое называется умным словом знакоопределённость.
• Сингулярное разложение и метод главных компонент
• В последней шестой главе неутомимый слушатель курса узнает магию SVD-разложения любой матрицы в произведение трёх простых. Слушатель также постигнет статистическую интерпретацию разложения — метод главных компонент.