Инженерлерге арналған дифференциалдық теңдеулер

Бұл курс дифференциалдық теңдеулер туралы. Негізгі теория да, оның қолданысы да оқытылады. Алғашқы бес аптада кәдімгі дифференциалдық теңдеулермен, ал соңғы аптада дербес дифференциалдық теңдеулермен танысамыз.

Курс 56 қысқаша дәріс бейнесін қамтиды, әр дәрістен кейін шешуге арналған бірнеше есептер бар. Әр негізгі тақырыптан кейін қысқаша тест болады. Есептер мен практикалық тесттердің шешімдерін нұсқаушы берген дәріс конспектілерінен табуға болады. Курс алты аптадан тұрады және әр аптаның соңында бағаланатын тест өткізіледі.

Дәріс жазбаларын жүктеп алыңыз:
http://www.math.ust.hk/~machas/differential-equations-for-engineers.pdf

Жарнамалық бейнені қараңыз:
https://youtu.be/eSty7oo09ZI

• Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
• Дифференциалдық теңдеу-бір немесе бірнеше туындылары бар функцияның теңдеуі. Дифференциалдық теңдеулер ұғымын енгізіп, оларды жіктейміз. Содан кейін біз бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеуді (ODE) сандық мәнде шешуге арналған Эйлер әдісімен танысамыз. Содан кейін бөлінетін және сызықтық бірінші ретті ODE-лерді шешудің аналитикалық әдістерін үйренеміз. Теорияның түсіндірмесі кейбір қарапайым ODE-лердің иллюстрациялық шешімдерімен жалғасады. Соңында біз бірінші ретті ODE-лердің үш нақты мысалымен танысамыз: күрделі пайыздар, құлайтын массаның терминалдық жылдамдығы және резистор-конденсатордың электр тізбегі.
• Біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
• Біз Эйлердің сандық әдісін екінші ретті ODE-ге жалпылаймыз. Содан кейін біз сызықтық теңдеулер үшін қолданылатын екі теориялық тұжырымдаманы талқылаймыз: суперпозиция принципі және Вронскиан. Осы ұғымдармен білгеннен кейін коэффициенттері бар біртекті екінші ретті ODE-нің аналитикалық шешімдерін таба аламыз. Біз экспоненциалды ансацты қолданамыз және тұрақты коэффициентті ODE-ні ODE-нің сипаттамалық теңдеуі деп аталатын квадрат теңдеуіне түрлендіреміз. Сипаттамалық теңдеудің нақты немесе күрделі түбірлері болуы мүмкін және біз әртүрлі жағдайлар үшін шешу әдістерін үйренеміз.
• Біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер
• Енді тұрақты коэффициентті ODE-ге біртекті емес мүшені қосамыз. Біртекті емес мүше көрсеткіштік функция, синус, косинус немесе көпмүше болуы мүмкін. Сондай-ақ мәжбүрлеу жиілігі осциллятордың табиғи жиілігіне тең болған кездегі резонанс құбылыстарын зерттейміз. Соңында біз үш маңызды қолданысы туралы талқылаймыз: RLC электр тізбегі, серіппедегі масса және маятник.
• Лаплас түрлендіруі мен қатармен шешу әдістері
• Біз сызықтық ODE-лерді шешудің екі жаңа аналитикалық шешу әдісін ұсынамыз. Біріншісі-үзіліссіз немесе импульсті біртекті емес мүшесі бар тұрақты коэффициентті ODE-ні шешу үшін қолданылатын Лаплас түрлендіру әдісі. Лаплас түрлендіруі жалпы түсінікті мағынада күрделі интегралды түрлендіру әдістерін енгізу үшін жақсы құрал болып табылады. Біз сонымен қатар сызықтық ODE-нің қатармен шешу әдісін талқылаймыз. Біз бұл жерде оны тереңдетіп оқымаймыз, бірақ бұл әдістеменің кіріспесі жоғары курстарда оны қайтадан оқитын студенттерге пайдалы болуы мүмкін.
• Дифференциалдық теңдеулер жүйесі
• Тұрақты коэффициенттері бар біртекті бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуді үйренеміз. Бұл ODE-лер жүйесін матрицалық түрде жазып, бұл теңдеулерді стандартты матрицалық алгебралық меншікті мән есебіне түрлендіруді үйренеміз. Екі өлшемді шешімдер фазалық портреттер арқылы көрсетіледі. Содан кейін біз біріктірілген гармоникалық осцилляторлардың маңызды қолданылуы және қалыпты режимдерді есептеу туралы оқимыз. Қалыпты режимдер - бұл жүйені құрайтын жеке массалардың бірдей жиілікте тербелетін қозғалыстары.
• Дербес дифференциалдық теңдеулер
• Дербес дифференциалдық теңдеуді (pde) шешуді үйрену үшін алдымен Фурье қатарын анықтаймыз. Содан кейін бір өлшемді диффузия теңдеуін шығарамыз, ол құбырдағы бояудың диффузиясы үшін pde болып табылады. Бұл pde-лерді айнымалыларды бөлу әдісі арқылы шешуге кірісеміз.