Цифровая обработка сигналов Часть 2. Дискретные и цифровые фильтры

Курс разработан Санкт-Петербургским государственным электротехническим университетом «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова при поддержке Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
«Дискретные и цифровые фильтры» — второй курс специализации, посвященной цифровой обработке сигналов. В предыдущем курсе мы рассмотрели лишь самые простые вещи, связанные с концепцией дискретного времени — свойства дискретных сигналов и линейных стационарных дискретных систем. Но чтобы использовать такие системы для решения практических задач, нужно уметь их рассчитывать, добиваясь при этом желаемых свойств и характеристик. Кроме того, реальная система цифровой обработки сигналов — это вычислительное устройство, операции над числами в котором невозможны без появления некоторых погрешностей. При разработке и использовании таких систем наличие этих погрешностей нужно прогнозировать и учитывать. Об этих вопросах и пойдет речь во втором курсе цикла. Он объединяет несколько тем, посвященных разным аспектам расчета и построения систем, реализующих фильтрацию сигнала, а также вычислительным погрешностям, возникающим в цифровых системах. Знания, полученные в этом курсе, позволят вам двигаться дальше — к пониманию еще более сложных методов и алгоритмов.
Цель курса: Сформировать у слушателей представление о сущности и применении дискретного преобразования Фурье, о методах расчета дискретных фильтров с заданными свойствами, о способах изменения частоты дискретизации сигнала, о проявлениях эффектов квантования и округления в системах цифровой обработки сигналов.
В результате обучения слушатели будут:
* Знать определение и свойства дискретного преобразования Фурье.
* Понимать принципы расчета дискретных фильтров с заданными свойствами.
* Уметь выполнять расчеты, связанные с анализом вычислительных погрешностей в системах цифровой обработки сигналов.

• Введение
• Дискретное преобразование Фурье, часть 1
• Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это еще один способ спектрального анализа дискретных сигналов, при котором подразумевается, что обрабатываемый сигнал имеет конечную длительность, то есть содержит конечное число отсчетов. При этом оказывается, что для представления сигнала в виде суммы гармонических колебаний (а именно в этом состоит смысл любого варианта преобразования Фурье) уже не нужна непрерывная функция частоты, достаточно конечного набора чисел.
  На этой неделе мы рассмотрим определение и свойства ДПФ, поговорим о его связи с другими спектральными представлениями сигналов, а также обсудим так называемое растекание спектра, проявляющееся при вычислении дискретного преобразования Фурье для фрагментов гармонических сигналов.
• Дискретное преобразование Фурье, часть 2
• На этой неделе мы продолжаем тему, посвященную дискретному преобразованию Фурье (ДПФ). Если вычислять ДПФ по тем формулам, которые его определяют, то число операций квадратично растет с длиной сигнала — если сигнал становится в два раза длиннее, требуется выполнить в четыре раза больше расчетов. Однако оказывается, что число операций можно сильно сократить, если оптимально организовать вычисления. Такие алгоритмы называются алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ). Мы рассмотрим самый распространенный из них, а после этого поговорим о взаимосвязи между ДПФ и фильтрацией сигнала. Эта связь является двусторонней — ДПФ можно представить как обработку сигнала набором фильтров, а дискретную фильтрацию можно организовать с помощью ДПФ, что позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты за счет использования быстрых алгоритмов.
• Расчет дискретных фильтров, часть 1
• На этой неделе мы начинаем новую тему нашего курса, посвященную расчету дискретных фильтров. В предыдущем курсе цикла мы много говорили о том, как реализуется обработка сигнала линейными стационарными системами, при этом в формулах и на структурных схемах фигурировали абстрактные коэффициенты и отсчеты импульсной характеристики фильтра. Но откуда взять такие значения этих параметров, чтобы фильтр делал именно то, что нам нужно? Для расчета фильтров с заданными свойствами существует целый ряд методов, самые главные из которых мы в этой теме и рассмотрим.
  В первой части темы мы поговорим о том, как можно получить простейшие рекурсивные фильтры с заданными свойствами; о том, как задаются исходные данные для проектирования более сложных фильтров, о классификации методов их расчета и о тех способах, которые позволяют превратить описание аналоговой цепи, состоящей из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, в набор параметров дискретного фильтра, похожего на нее по своим свойствам.
  
• Расчет дискретных фильтров, часть 2
• Вторая часть темы посвящена прямым методам расчета дискретных фильтров. Слово «прямой» означает, что, в отличие от тех подходов, которые мы рассматривали ранее, в расчете не используется аналоговая цепь. Вместо этого мы реализуем прямой переход от набора исходных требований к описанию дискретного фильтра. Эта задача может решаться разными способами. Самый «правильный» подход, позволяющий получить наилучший возможный результат, заключается в том, что мы должны сформулировать и затем решить математическую оптимизационную задачу. Для этого необходимо задать критерий качества и вывести формулы, которые связывают его с описанием фильтра. К сожалению, решение этой оптимизационной задачи может оказаться весьма сложным в вычислительном плане, поэтому востребованными на практике оказываются и другие методы. Они не дают оптимального результата, главным их достоинством является простота расчетов. О методах данного класса, как оптимальных, так и упрощенных, мы и поговорим на этой неделе.
• Изменение частоты дискретизации сигнала
• Необходимость в изменении частоты дискретизации в процессе обработки сигнала может возникать по разным причинам. Иногда приходится преобразовывать сигнал от одного стандарта к другому, в других случаях оказывается, что частота дискретизации недостаточна для выполнения дальнейших операций над сигналом, или, наоборот, избыточна, и, понизив ее, мы сможем сэкономить вычислительные ресурсы. К базовым операциям изменения частоты дискретизации сигнала относятся ее понижение и повышение в целое число раз, а также передискретизация сигнала с коэффициентом, представляющим собой рациональную дробь. О том, как реализуются все эти операции, мы и поговорим на этой неделе.
• Эффекты квантования и округления, часть 1
• На этой неделе мы начинаем тему, речь в которой наконец-то пойдет именно о цифровой обработке сигналов, а не о сигналах и фильтрах дискретного времени, как было до сих пор. Ранее предполагалось, что значения отсчетов сигнала являются точными, а при выполнении арифметических операций не появляется никаких погрешностей. Однако устройство, реализующее цифровую обработку сигнала — это вычислительная система, числа внутри которой хранятся в двоичной системе счисления и занимают ограниченное количество ячеек памяти. В данной теме мы рассмотрим основные проблемы, связанные с конечной точностью представления чисел и с вычислительными погрешностями.
  В первой части темы мы поговорим о том, каким образом хранятся числа в вычислительных системах, и о том, какими свойствами обладают погрешности, возникающие при преобразовании отсчетов сигнала в числа, укладывающиеся в отведенный для них объем памяти.
  
• Эффекты квантования и округления, часть 2
• На этой неделе мы рассматриваем вторую часть темы, посвященной вычислительным погрешностям в системах цифровой обработки сигналов. Речь пойдет о том, как эти погрешности влияют на работу фильтров, которые мы теперь с полным правом можем назвать не просто дискретными, а именно цифровыми. Первой из возникающих проблем является квантование коэффициентов фильтров, ведь их тоже нужно хранить внутри вычислительной системы в заданном формате. Характеристики фильтра из-за этого искажаются, и при разработке системы — это нужно учитывать. Далее, при выполнении арифметических действий может оказаться, что точное представление результата не укладывается в отведенный для него формат. В итоге возникают погрешности двух типов: переполнения и шум округления. Из-за них цифровой фильтр перестает быть линейным устройством, и иногда может даже демонстрировать так называемые предельные циклы — незатухающие колебания на выходе при нулевом входном сигнале. Обо всех этих проблемах мы и поговорим на этой неделе.
• Итоговая аттестация
• Экзаменационный тест, охватывающий все содержание курса.