Цифровая обработка сигналов Часть 1. Сигналы и системы дискретного времени

Курс разработан Санкт-Петербургским государственным электротехническим университетом «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова при поддержке Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
«Сигналы и системы дискретного времени» — первый из нескольких курсов специализации, посвященной цифровой обработке сигналов. Современная цифровая обработка сигналов — сложная и многогранная область техники. Чтобы разобраться в ней, нужно прежде всего понять базовые принципы, о которых и пойдет речь в этом курсе. В нем всего две темы. Первая из них посвящена дискретным сигналам, в ней мы поговорим о том, что такое дискретное время, откуда берутся дискретные сигналы, как они анализируются, из каких элементарных кирпичиков складываются и каким образом попадают обратно в окружающий нас физический мир. Во второй теме мы перейдем от сигналов к системам, предназначенным для их обработки, и посмотрим, как эти системы классифицируются, какими характеристиками обладают и как именно изменяют проходящие через них сигналы. Это те основы, глубокое понимание которых необходимо для освоения и грамотного использования более сложных методов обработки сигналов, речь о которых пойдет в следующих курсах специализации.
Цель курса : сформировать у слушателей представление о базовых принципах обработки сигналов в дискретном времени.
В результате обучения слушатели будут:
* Знать основы теории дискретных сигналов и систем.
* Понимать законы преобразования сигналов в дискретных системах.
* Уметь выполнять расчеты, связанные с анализом дискретных сигналов и систем, а также с прохождением сигналов через такие системы.

• ВВЕДЕНИЕ
• Онлайн-курс «Сигналы и системы дискретного времени» — первый из нескольких курсов цикла, посвященного цифровой обработке сигналов. В этом курсе мы поговорим о том, что такое дискретное время, что представляют собой дискретные сигналы, как они анализируются и как преобразуются в линейных стационарных дискретных системах.
• Основные характеристики дискретных сигналов
• На этой неделе мы для начала разберемся с тем, что такое дискретные сигналы и откуда они могут появляться. Далее введем понятие анализа сигналов и посмотрим, какие основные характеристики для них мы можем придумать. После этого перейдем к рассмотрению тех элементарных кирпичиков, из которых можно складывать любые сигналы и которые часто используются при анализе сигналов и систем. К таким кирпичикам прежде всего относятся единичный импульс, единичный скачок и гармонический сигнал. Все это и составляет содержание первой недели курса.
• Преобразование Фурье в дискретном времени
• Эта неделя курса посвящена двум вещам. Сначала мы продолжим обсуждать дискретный гармонический сигнал и поговорим о еще одной его особенности — неоднозначности понятия частоты. Это поможет нам понять, что для дискретных сигналов называется низкими, а что — высокими частотами. Более того, окажется, что для них существует даже понятие самой высокой частоты. Далее, разобравшись с дискретным гармоническим сигналом, мы сразу же используем его для анализа других сигналов. Оказывается, почти любой сигнал можно сложить из элементарных кирпичиков в виде гармонических сигналов. Это называется преобразованием Фурье. У него есть несколько разновидностей, в этой части курса мы рассмотрим ту из них, которая применяется к дискретным сигналам бесконечной длительности и называется преобразованием Фурье в дискретном времени. Впоследствии мы будем много раз использовать это преобразование, а на этой неделе посмотрим, как оно рассчитывается и какими свойствами обладает.
• Z-преобразование
• На этой неделе мы рассмотрим важный метод анализа дискретных сигналов — так называемое z-преобразование. Это непростая тема, поскольку z-преобразование является математической абстракцией, оно лишь ставит в соответствие дискретному сигналу некую комплексную функцию и не имеет столь наглядной трактовки, как, например, преобразование Фурье, которое показывает, как произвольный сигнал можно построить из множества гармонических составляющих. Почему же тогда z-преобразование стало столь востребованным механизмом анализа? Прежде всего, потому, что оно дает возможность легко решать те уравнения, которые описывают преобразование дискретных сигналов линейными стационарными системами. Как z-преобразование применяется для этой цели, мы увидим далее, а на этой неделе поговорим о его определении и свойствах.
• Дискретизация и восстановление аналоговых сигналов
• На этой неделе речь пойдет о связи систем цифровой обработки сигналов с внешним миром — миром, представляющим собой физическую реальность, время в котором является непрерывным, а не дискретным. При решении задач обработки сигналов во многих прикладных областях, прежде всего в таких как радиотехника, электроника, телекоммуникации, мы получаем дискретные сигналы в результате периодического измерения значений некоторой физической величины, то есть в результате дискретизации физического сигнала, представляющего собой непрерывную функцию времени. Результат обработки сигнала тоже часто нужно представить не в виде последовательности чисел, хранящихся внутри компьютера, а в виде физического непрерывного сигнала, который будет использоваться для управления каким-то устройством, для отображения информации или как-то еще. О вопросах, связанных с дискретизацией непрерывных сигналов, и о восстановлении таких сигналов по их дискретным отсчетам мы и поговорим на этой неделе.
• Принцип работы и характеристики линейных стационарных дискретных систем
• На этой неделе мы переходим от сигналов к системам, предназначенным для их обработки. Система дискретного времени — это алгоритм, который позволяет после получения отсчета сигнала на входе рассчитать, чему должен быть равен очередной отсчет сигнала на выходе. Существуют разнообразные классы дискретных систем, мы рассмотрим лишь один из них — линейные стационарные системы. Такие системы имеют простое математическое описание, в то же время к этому классу относится весьма значительная доля устройств, используемых при решении практических задач. Прежде всего имеются в виду фильтры, пропускающие одни частоты и задерживающие другие. Начнем мы с базовых определений и концепций. Мы обсудим классификацию дискретных систем, на простейших примерах рассмотрим принцип их работы, получим формулы, позволяющие рассчитать выходной сигнал. Все это и составляет содержание очередной недели курса.
• Способы описания линейных стационарных дискретных систем
• Материал этой недели связан с разными способами описания дискретных систем. Один из таких способов мы уже видели — это функция передачи, а коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя образуют набор параметров, определяющих свойства системы. Но такой способ описания не является единственным, и мы рассмотрим еще несколько вариантов. Каждый из них позволяет наглядно проиллюстрировать какие-то свойства системы. Так, мы можем разложить функцию передачи на множители и получить описание системы в виде набора нулей и полюсов. При этом оказывается, что по расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости можно понять форму частотной характеристики системы. Другой вариант — представить функцию передачи в виде суммы простых дробей, такое представление позволяет получить аналитическую формулу для импульсной характеристики и проанализировать устойчивость дискретной системы. Обо всех этих возможностях мы и поговорим на этой неделе.
• Формы реализации дискретных систем
• Предмет этой недели — формы реализации дискретных систем. Здесь мы перейдем от формул к структурным схемам и посмотрим, какие вычисления и в каком порядке нужно выполнить, чтобы из входного сигнала получить выходной. Казалось бы, у нас есть формула, которую мы назвали «алгоритмом дискретной фильтрации», и все, что нужно — это реализовать соответствующие арифметические операции. Так действительно можно поступить, но, оказывается, этот вариант далеко не единственный, и мы можем построить несколько дискретных систем с одними и теми же свойствами, организуя вычисления по-разному. Возможных форм реализации дискретных систем существует много, мы рассмотрим лишь несколько наиболее распространенных вариантов. Об их получении и свойствах и пойдет речь на этой неделе.
• Итоговая аттестация
• Экзаменационный тест, охватывающий все содержание курса.